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数学与物理准备 Mathematical Preliminaries

机器人学是把线性代数、微积分、概率和优化用在物理系统上。这一阶段不求深，只求把后面反复出现的工具（矩阵分解、雅可比、高斯分布、拉格朗日乘子）用熟。建议边学后面的内容边回头补。

4 个主题 约 100 小时
已掌握 0/4

学完你将能够

1线性代数 Linear Algebra

⏱ 约 30 小时

机器人里的一切——位姿、速度、力、协方差、约束——都是向量和矩阵。你需要对「线性变换的几何意义」有直觉，并能熟练使用 SVD、特征分解、伪逆和二次型。

核心要点

  • 向量空间、基变换、正交矩阵与旋转的关系
  • 特征值 / 特征向量、对称正定矩阵与二次型（能量、代价函数、协方差都是二次型）
  • SVD 与伪逆：奇异构型、最小二乘、零空间投影的数学基础
  • 矩阵微积分：∂(xᵀAx)/∂x、链式法则，是推导控制律和梯度的日常工具

关键公式

A=UΣV⊤,A†=VΣ†U⊤A = U\Sigma V^{\top},\qquad A^{\dagger} = V\Sigma^{\dagger}U^{\top}
SVD 与 Moore–Penrose 伪逆
∂∂x(x⊤Ax)=(A+A⊤)x\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{\top}Ax\right) = (A + A^{\top})x
二次型的梯度
自测：学完应该能回答
  1. 为什么旋转矩阵的逆等于它的转置？
  2. 雅可比矩阵奇异时伪逆会发生什么？零空间的物理含义是什么？

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2多元微积分与常微分方程 Multivariable Calculus & ODEs

⏱ 约 20 小时

机器人是连续时间的动力系统 ẋ = f(x, u)。你需要会线性化（泰勒展开取一阶）、会数值积分（欧拉、RK4），并理解线性系统的解 e^{At} 与稳定性和特征值的关系。

核心要点

  • 梯度、雅可比、海森矩阵；泰勒展开与线性化 A = ∂f/∂x，B = ∂f/∂u
  • 线性常微分方程的解 x(t) = e^{At}x₀，特征值实部决定稳定性
  • 数值积分：显式欧拉、半隐式欧拉、RK4，以及步长与稳定性的关系（仿真器都在做这件事）
  • 离散化：连续系统 → 离散系统 x_{k+1} = f_d(x_k, u_k)，控制器几乎总是离散实现的

关键公式

x˙=f(x,u)  ≈  f(x0,u0)+A δx+B δu,A=∂f∂x,  B=∂f∂u\dot{x} = f(x,u)\;\approx\; f(x_0,u_0) + A\,\delta x + B\,\delta u,\quad A = \tfrac{\partial f}{\partial x},\; B = \tfrac{\partial f}{\partial u}
在工作点线性化
xk+1=xk+h f(xk,uk)(显式欧拉)x_{k+1} = x_k + h\,f(x_k,u_k)\quad(\text{显式欧拉})
最简单的离散化
自测：学完应该能回答
  1. 为什么显式欧拉模拟无阻尼单摆时能量会越来越大？
  2. 一个离散线性系统 x_{k+1}=A x_k 稳定的条件是什么？

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3概率与统计 Probability & Statistics

⏱ 约 20 小时

传感器有噪声、模型有误差、策略有随机性——状态估计和强化学习都建立在概率之上。核心是把多元高斯分布用熟，理解贝叶斯法则和期望 / 方差的运算。

核心要点

  • 条件概率与贝叶斯法则：先验 × 似然 ∝ 后验，是所有滤波器的骨架
  • 多元高斯：均值、协方差、边缘化和条件化仍是高斯（卡尔曼滤波成立的原因）
  • 期望、方差、协方差传播：y = Ax + b ⇒ Σ_y = AΣ_xAᵀ
  • 最大似然与最大后验（MAP）：非线性最小二乘为什么等于高斯噪声下的 MAP

关键公式

p(x∣z)=p(z∣x) p(x)p(z)p(x\mid z) = \frac{p(z\mid x)\,p(x)}{p(z)}
贝叶斯法则
N(x;μ,Σ)=1(2π)n∣Σ∣exp⁡ ⁣(−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ))\mathcal{N}(x;\mu,\Sigma) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\Sigma|}}\exp\!\left(-\tfrac12 (x-\mu)^{\top}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)
多元高斯分布
自测：学完应该能回答
  1. 两个独立高斯测量相乘（融合）后，方差为什么一定变小？
  2. 为什么高斯噪声下的 MAP 估计等价于加权最小二乘？

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4数值优化 Numerical Optimization

⏱ 约 30 小时

现代机器人控制几乎全是「写一个代价函数然后求解」：逆运动学、轨迹优化、MPC、策略学习都是优化问题。要理解梯度法、牛顿法、约束优化的 KKT 条件，以及凸与非凸的区别。

核心要点

  • 无约束优化：梯度下降、牛顿法、拟牛顿（BFGS）、线搜索与信赖域
  • 约束优化：拉格朗日函数、KKT 条件、对偶；等式约束用牛顿-KKT，不等式约束用内点法 / 有效集 / 增广拉格朗日
  • 凸优化：LP、QP、SOCP，为什么凸问题「解一次就对」，MPC 大量依赖 QP 求解器
  • 非线性规划（NLP）与 SQP：轨迹优化的主力算法

关键公式

min⁡x  f(x)s.t. c(x)=0,  h(x)≤0\min_x\; f(x)\quad \text{s.t. } c(x)=0,\; h(x)\le 0
一般约束优化问题
∇f(x∗)+∇c(x∗)⊤λ+∇h(x∗)⊤μ=0,    μ≥0,    μ⊤h(x∗)=0\nabla f(x^{*}) + \nabla c(x^{*})^{\top}\lambda + \nabla h(x^{*})^{\top}\mu = 0,\;\; \mu \ge 0,\;\; \mu^{\top}h(x^{*}) = 0
KKT 一阶必要条件
自测：学完应该能回答
  1. 为什么牛顿法在最优点附近收敛快，但海森矩阵不正定时需要正则化？
  2. QP 与一般 NLP 在求解上的本质区别是什么？MPC 为什么偏爱 QP？

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